FÓRMULA DE GRACELI.

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

 Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.

Potencial termodinâmico

Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}z^{N}e^{-\beta \varepsilon _{i}}}$ /

/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

que para um gás fica:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{i}\}}\,^{\prime }\prod _{i}z^{n_{i}}e^{-\beta n_{i}E_{i}}}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser ${\displaystyle N}$. Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os ${\displaystyle N}$ possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de ${\displaystyle N}$ é permitido, logo:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\prod _{i}(1+ze^{-\beta E_{i}})^{-1}}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

O potencial termodinâmico é então:

${\displaystyle -PV(z,\beta )=\Omega (z,\beta )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i}\ln(1-ze^{-\beta E_{i}})}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em ${\displaystyle d}$ dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):

${\displaystyle \Omega (z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}}{\beta }}{\frac {2\pi ^{d/2}}{h^{d}\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }p^{d-1}\ln(1-ze^{-\beta p^{2}/2m})-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

onde ${\displaystyle \Gamma }$ é a função gama, ${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}$ é a função polilogarítmica e ${\displaystyle V^{(d)}}$ é o volume d-dimensional que o gás ocupa.

${\displaystyle \Omega (z,\beta ,V^{(d)})=-{\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{2mh^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2+1}{\text{Li}}_{d/2+1}(z)-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)}$

/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Note que a função polilogarítmica só está definida para ${\displaystyle z}$ reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.

Condensação de Bose-Einstein

O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:

${\displaystyle N(z,\beta ,V^{(d)})=-\beta z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}{\text{Li}}_{d/2}(z)+{\text{Li}}_{0}(z)}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

O maior valor da função polilogarítmica acontece em ${\displaystyle z=1}$ quando o número de partículas em estados excitados é:

${\displaystyle N^{(p>0)}(z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}\zeta (d)}$/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Perceba que para ${\displaystyle d>2}$ isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura ${\displaystyle T_{0}}$. Todas as demais

${\displaystyle N^{(p=0)}=N\left[1-\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{d/2}\right]}$

/

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).

Dentro da estrutura que a física estatística possibilita, segue-se que com a ajuda de conjuntos estatísticos para um número médio de ocupação ${\displaystyle \langle n_{i}\rangle }$ dos estados ${\displaystyle |i\rangle }$ com a energia ${\displaystyle E_{i}}$ da estatística de Fermi-Dirac:

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}+1}}}$ /

 [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Onde ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico, ${\displaystyle T}$ a temperatura e ${\displaystyle k_{B}}$ a constante de Boltzmann.

Estes férmions, que estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli, podem estar na condição de máxima ocupação, ou seja ${\displaystyle \langle n_{i}\rangle \leq 1}$. Esta condição é que a estatística de Fermi-Dirac