FÓRMULA DE GRACELI. PARA INTERAÇÕES DE FORÇAS  FUNDAMENTIAS.

 = [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

 

Partículas carregadas não relativísticas de em um campo eletromagnético

Uma boa ilustração da mecânica hamiltoniana é dada pelo Hamiltoniano de uma partícula carregada em um campo eletromagnético. Em coordenadas cartesianas (i.e. ${\displaystyle q_{i}=x_{i}}$), o Lagrangiano de uma partícula clássica não relativística em um campo eletromagnético é (em Unidades SI):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}e{\dot {x}}_{i}A_{i}-e\phi ,}$ /  = [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

em que e é a carga eléctrica das partículas (não necessariamente a carga do electrão), ${\displaystyle \phi }$ é o potencial escalar eléctrico , e ${\displaystyle A_{i}}$ são os componentes do vetor potencial magnético (que podem ser modificados através de uma fixação de gauge). Isto é chamado de acoplamento mínimo.

O momento generalizado é dado por:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+eA_{i}.}$ /  = [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Rearranjando, as velocidades expressas em termos de momentos, temos:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {p_{i}-eA_{i}}{m}}.}$ /  = [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Se substituirmos a definição dos momentos e as definições das velocidades em termos de momentos, na definição do Hamiltoniano dado acima, e, em seguida, simplificando e reorganizando, temos:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {(p_{i}-eA_{i})^{2}}{2m}}+e\phi .}$ /  = [          ] ω  , ,  / T] [x,t] =

Esta equação é usada com frequência em mecânica quântica e está relacionada com a equação de Pauli.